Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения. Как найти область определения математических функций
В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.
1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.
2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.
3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.
3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.
Для тангенса:
4. Обратные тригонометрические функции.
Арксинус | Арккосинус | Арктангенс, Арккотангенс |
Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций".
Пример 1 | Пример 2 |
Пример 3 | Пример 4 |
Пример 5 | Пример 6 |
Пример 7 | Пример 8 |
Пример 9 | Пример 10 |
Пример 11 | Пример 12 |
Пример 13 | Пример 14 |
Пример 15 | Пример 16 |
Пример нахождения области определения функции №1
Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:
y = 2x + 3 - уравнение задает прямую на плоскости.
Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?
Попробуем подставить значение х=0
Так как y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.
Попробуем подставить значение х=10
так как y = 2·10 + 3 = 23 - функция существует при взятом значении переменной х=10 .
Попробуем подставить значение х=-10
так как y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 .
Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.
Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.
Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R
Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)
Сделаем вывод:
Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.
Пример нахождения области определения функции №2
Задана функция вида:
y = 10/(x + 5) - уравнение гиперболы
Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не
обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.
При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.
При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 - функция существует.
При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функция в этой точке не существует.
Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.
В нашем случае:
x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.
x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5
Для наглядности изобразим графически:
На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.
Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5
Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)
Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.
Пример нахождения области определения функции №3
Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.
2х - 8 ≥ 0
Решим простое неравенство:
2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4
Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)= ∪ ∪
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...
Мораль: глаза боятся, голова решает!)
Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно : . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: , правда, корень уже 4-ой степени в исследованиях функций не припоминаю.
Пример 5
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.
Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то есть для нас существует только одна размерность по оси . Пожалуйста, не путайте снеравенствами двух переменных , где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:
1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.
2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства . Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».
В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим обе части неравенства на (правило №2):
Ответ : область определения:
Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.
Пример 6
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения.
Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:
Пример 7
Найти область определения функции
Решение
: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).
Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :
! Примечание:
если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций
и методичке Горячие формулы школьного курса математики
.
Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.
Ответ : область определения:
Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальнымметодом интервалов , известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства .
Пример 8
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец.
Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и .. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции исключаются точки .
Некоторым посетителям сайта рассматриваемые примеры покажутся элементарными и примитивными, но в этом нет случайности – во-первых, я стараюсь «заточить» материал для нубов, а во-вторых, подбираю реалистичные вещи под грядущие задачи: полное исследование функции
, нахождение области определения функции двух переменных
и некоторые другие. Всё в математике цепляется друг за дружку. Хотя любители трудностей тоже не останутся обделёнными, более солидные задания встретятся и здесь, и на уроке
о методе интервалов
.
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= }